Un problème, plusieurs solutions

ΠTrouver plusieurs solutions,

� Trouver toutes les solutions ou toutes les solutions possibles. Ici, il s’agit d’amener l’enfant à prendre conscience qu’on peut d’abord expérimenter, chercher plus ou moins au hasard, mais qu’ensuite, il est impératif de s’organiser pour être sûr qu’on a bien trouvé toutes les solutions. Pour résoudre de tels problèmes, les enfants devront souvent argumenter, justifier leurs choix (voir aussi partie suivante p 31).

Situation de départ du CE1 au CM2 :

Au début de la récréation, Julien a 10 billes. Après avoir joué 2 parties, il lui reste 4 billes. Imagine ce qui a pu se passer.

(création du groupe)

M Ce problème pose la difficulté de la prise de conscience du fait que Julien peut avoir malgré tout gagné des billes à une partie ou à l’autre.

Comment surmonter la difficulté ? Après une recherche individuelle, une première confrontation permettra peut-être de mettre en évidence une solution différente proposée par un ou plusieurs enfants. Si ce n’est pas le cas, on pourra les mettre sur la piste en disant que cela a pu se passer autrement que par la perte sèche de 6 billes.

On peut demander au CM2 s’il est possible de trouver toutes les solutions. Ce problème a bien entendu théoriquement* une infinité de solutions.

* Il sera intéressant de discuter avec les enfants du travail purement mathématique sur des nombres (infinité de solutions en théorie) et de la réalité d’une partie de billes (nombre de solutions limitées en pratique).

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Pour préciser un peu les choses, on peut proposer dans le même esprit le problème suivant :

CE-CM Un autobus part de Pézenas avec 15 passagers. Il s’arrête à Agde et repart avec 20 passagers. Imagine ce qui a pu se passer pendant l’arrêt à Agde.

CE Trouve plusieurs solutions.

CM Est-il possible de trouver toutes les solutions ?

Ici, le nombre de solutions est limité car un autobus ne peut pas transporter un nombre infini de passagers.

(Didier MUR)

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CM Dans une école, il y a 1 classe de CP, 1 classe de CE1, 1 classe de CE2, 1 classe de CM1 et 1 classe de CM2. En tout, il y a 100 élèves.

Aucune classe n’a moins de 18 élèves et aucune plus de 30.

Trouve le nombre d’élèves qu’il peut y avoir dans chaque classe (quelques solutions).

(création du groupe)

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CE Ecris tous les nombres de 2 chiffres inférieurs à 50 que l’on peut former avec les chiffres 3, 4 et 7.

(On ne peut pas utiliser deux fois le même chiffre dans le même nombre : 44 par exemple).

(Objectif calcul CE1 Hatier)

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CE Trouve toutes les façons possibles de positionner à plat 4 cubes qui se touchent au moins par une face.

(d’après une idée de Philippe MEIRIEU dans Apprendre, oui mais comment ? ESF)

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CM Trouve toutes les façons possibles de positionner à plat 5 cubes qui se touchent au moins par une face.

(d’après une idée de Philippe MEIRIEU dans Apprendre, oui mais comment ?)

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CE2-CM Cherche tous les nombres entiers dont la somme des chiffres est égale à 5.

(ERMEL CE2 Hatier)

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CM2 Cherche tous les nombres entiers dont la somme des chiffres est égale à 6.

(ERMEL Hatier)

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CM1-CM2 Pour peindre les faces d’un cube, tu disposes de deux couleurs, rouge et bleu. Tu ne dois utiliser qu’une seule couleur par face.

Trouve combien de cubes différents tu peux peindre en respectant la consigne.

Comment aider ?

- On peut travailler avec des petit cubes,

- Au CM2, on peut travailler sur le développement du cube (attention aux doublons).

(d’après une idée de Math en flèche CM1 Nathan, collection Diagonale)

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Voici un problème apparemment anodin, créé le jour de l’animation pédagogique par un groupe d’enseignants, pour des enfants de CE :

Julien a 10 F. Il achète pour 9 F de bonbons. Le marchand n’a plus de pièce de 1 F. Comment peut-il rendre la monnaie à Julien ? Trouve toutes les solutions.

(création du groupe)

La dernière phrase, terrible, (Trouve toutes les solutions) met ce problème hors des limites de la réflexion d’enfants de l’école primaire, et le rend tout à fait coriace ... pour un adulte !

En effet, si on admet que le marchand peut rendre la monnaie en pièces de 5 centimes, 10 centimes, 20 centimes et 50 centimes, le nombre de solutions est très important puisqu’il va de 20 pièces de 5 centimes à 2 pièces de 50 centimes en passant par toutes les possibilités intermédiaires !

Ce problème a en fait 48 solutions ! La difficulté majeure n’est pas le nombre important de possibilités, mais plutôt la stratégie à mettre en œuvre pour n’en oublier aucune.

Moralité : toujours résoudre un problème que l’on vient d’inventer avant de le proposer aux enfants.

Les inventeurs de cet énoncé n’ont évidemment pas eu le temps de résoudre le problème le jour de l’animation pédagogique, mais l’idée de le proposer à des enfants peut être tout à fait pertinente pour peu que l’on modifie légèrement l’énoncé :

- Au CE : Trouve 3, 4, 5, ... solutions (on pourra individualiser en demandant davantage de solutions aux plus débrouillards)

- Au CM :

Julien a 10 F. Il achète pour 9 F de bonbons. Le marchand n’a plus de pièce de 1 F ni de pièces de 5 centimes.

Comment peut-il rendre la monnaie à Julien ? Trouve toutes les solutions.

On peut laisser les enfants chercher individuellement, puis collecter les solutions trouvées.

Les questions intéressantes à leur poser ensuite peuvent être les suivantes :

- Êtes-vous certains d’avoir trouvé toutes les possibilités ?

- Comment pourriez-vous faire pour les trouver toutes à coup sûr ?

On peut les aider en leur proposant le tableau suivant, mais vide !

	pièces de 10 c	pièces de 20 c	pièces de 50 c
nombre	10
nombre	8	1
nombre	6	2
nombre	5		1
nombre	4	3
nombre	3	1	1
nombre	2	4
nombre	1	2	1
nombre			2
nombre
nombre
nombre
nombre

Il suffit de commencer à remplir la première ligne avec 10 pièces de 10 centimes, puis d’enlever à chaque ligne des pièces de 10 centimes pour compléter avec les autres en commençant toujours par la colonne immédiatement à droite afin de ne rien oublier.

On le voit, sans les pièces de 5 centimes, le problème n’a plus que 9 solutions.

Pour trouver les 48 solutions initiales (à réserver à des adultes), il suffit d’inscrire la colonne des pièces de 5 centimes dans le tableau et de remplir les lignes de manière très rigoureuse, en partant de la première avec 20 pièces de 5 centimes et en terminant à la 48^ème avec 2 pièces de 50 centimes.

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